On the ranks of configurations on the complete graph

We consider the parameter rank introduced for graph configurations by M. Baker and S. Norine. We focus on complete graphs and obtain an efficient algorithm to determine the rank for these graphs. The analysis of this algorithm leads to the definition of a parameter on Dyck words, which we call prerank. We prove that the distribution of area and prerank on Dyck words of given length 2n leads to a polynomial with variables q, t which is symmetric in these variables. This polynomial is different from the q, t-Catalan polynomial studied by A. Garsia, J. Haglund and M. Haiman. Résumé. Nous considérons le paramètre rang sur les configurations d’un graphes introduit par Baker et Norine . Nous nous intéressons plus particulièrement aux graphes complets et obtenons un algorithme efficace de déxtermination du rang d’une configuration pour ceux-ci. L’analyse de la complexité de cet algorithme conduit à définir un paramètre sur les mots de Dyck que nous appelons pré-rang. Nous démontrons que la distribution des aires et pré-rangs des mots de Dyck donne lieu à un polynôme à deux variables qui est symétrique en celles-ci. Il est différent du polynôme q, t-Catalan étudié par A. Garsia, J. Haglund et par M. Haiman.